Лемма Шура
Вы находитесь на сайте "Архив статей из ЭЕЭ и статей на еврейские темы из Википедии"
Марк (Обсуждение | вклад) м (добавлена категория «Персоналии по алфавиту» с помощью HotCat) |
Марк (Обсуждение | вклад) м (добавлена категория «Учёные по алфавиту» с помощью HotCat) |
||
| Строка 60: | Строка 60: | ||
[[Категория:требует категоризации]] | [[Категория:требует категоризации]] | ||
| - | [[Категория:Персоналии по алфавиту]]{{checked_final}} | + | [[Категория:Персоналии по алфавиту]] |
| + | [[Категория:Учёные по алфавиту]]{{checked_final}} | ||
Версия 14:58, 21 июля 2011
| Регулярная статья | |
Ле́мма Шу́ра — утверждение, являющееся одним из основных при построении теории представлений групп.
Формулировка леммы
Представление группы G автоморфизмами некоторого векторного пространства GL(V) σ:G→GL(V) называется неприводимым, если не существует никакого инвариантного подпространства V'Ì V (т.е. такого, что для всех элементов группы σgV'Ì V' ) и отличного от 0 и самого V.
Лемма Шура:Пусть f — линейное отображение векторных пространств f:V1→V2 , над некоторым полем K такое, что существуют два неприводимых представления σ:G→GL(V1) и τ:G→GL(V1), такие, что τgf=fσg для всех g . Тогда:
1)Если f не является изоморфизмом, то f — нулевое отображение.
2)Если V1=V2 конечномерны над алгебраически замкнутым полем K и σ=τ, то f является умножением на некоторый элемент поля f:x→λx.
Доказательство
Основой доказательства служит следующее общее утверждение, которое часто тоже называют «леммой Шура»:
Пусть E и F модули, являющиеся простыми (то есть не имеющие подмодулей, отличных от нулевого и самого себя). Тогда любой гомоморфизм f:E→F является либо нулевым, либо изоморфизмом на F.
В самом деле, так как Ker f и Im f являются подмодулями, то если f ненулевой гомоморфизм, имеем Ker f=0, а Im f=F, то есть f — изоморфизм на весь модуль F.
Теперь определим групповое кольцо K[G]. Элементами этого кольца будут линейные комбинации k1g1+k2g2+...kngn. Умножение определяется (k1g1)(k2g2)=(k1k2)(g1g2) и далее по линейности. Ясно, что K[G] кольцо. На пространстве V1 определим умножение элемента из K[G] на элемент xÎ V1: (k1g1+k2g2+...kngn)x=k1σg1x+k2σg2x+...knσgnx. Тем самым мы превращаем V1 в модуль над кольцом K[G]. Проверка аксиом модуля тривиальна, т.к. σ является представлением. V2 аналогично, заменяя σ на τ, будет модулем над K[G], а равенство τgf=fσg то, что отображение f является гомоморфизмом модулей. Так как V1 и V2 неприводимы, а это означает их простоту как модулей над K[G], то первая часть леммы доказана.
Для доказательства второй части используем известное утверждение линейной алгебры о существовании собственного векторов x≠0 для конечномерного пространства над алгебраически замкнутым полем, соответствующего собственному значениию λ, fx=λx. Имеем для любого элемента gÎ G σg(f-λid)=(f-λid)σg, причём для собственного вектора x≠ 0 f-λ·id=0. следовательно f-λ·id по первой части леммы является нулевым гомоморфизмом, а значит, f является умножением на некоторое λ.
Литература
- Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967
- Серр Ж.-П. Линейные представления конечных групп -М:, Мир, 1969zh:舒尔引理
zh-yue:Schur引理
Уведомление: Предварительной основой данной статьи была аналогичная статья в http://ru.wikipedia.org, на условиях CC-BY-SA, http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0, которая в дальнейшем изменялась, исправлялась и редактировалась.
