м |
|
| (7 промежуточных версий не показаны.) |
| Строка 1: |
Строка 1: |
| - | {{Остатье| ТИП СТАТЬИ = 1
| + | #redirect [[:ej:Лемма Шура]] |
| - | | АВТОР1 =
| + | |
| - | | АВТОР2 =
| + | |
| - | | АВТОР3 =
| + | |
| - | | СУПЕРВАЙЗЕР =
| + | |
| - | | ПРОЕКТ =
| + | |
| - | | ПОДТЕМА =
| + | |
| - | | КАЧЕСТВО =
| + | |
| - | | УРОВЕНЬ =
| + | |
| - | | ДАТА СОЗДАНИЯ =
| + | |
| - | | ВИКИПЕДИЯ =
| + | |
| - | | НЕОДНОЗНАЧНОСТЬ =
| + | |
| - | }}'''Ле́мма Шу́ра''' — утверждение, являющееся одним из основных при построении [[Представление группы|теории представлений групп]].
| + | |
| - | | + | |
| - | == Формулировка леммы ==
| + | |
| - | | + | |
| - | Представление группы ''G'' [[автоморфизм]]ами некоторого [[Векторное пространство|векторного пространства]] ''GL(V) σ:G→GL(V)'' называется неприводимым, если не существует никакого инвариантного подпространства ''V'<span style='font-family:
| + | |
| - | Symbol'>Ì</span> V'' (т.е. такого, что для всех элементов группы ''σ<sub>g</sub>V'<span style='font-family:
| + | |
| - | Symbol'>Ì</span> V' '') и отличного от 0 и самого ''V''.
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Лемма Шура''':Пусть ''f'' — линейное отображение векторных пространств ''f:V<sub>1</sub>→</sub>V<sub>2</sub> '', над некоторым полем ''K'' такое, что существуют два неприводимых представления ''σ:G→GL(V<sub>1</sub>)'' и ''τ:G→GL(V<sub>1</sub>)'', такие, что ''τ<sub>g</sub>f=fσ<sub>g</sub>'' для всех ''g'' . Тогда:
| + | |
| - | | + | |
| - | 1)Если ''f'' не является [[изоморфизм]]ом, то ''f'' — нулевое отображение.
| + | |
| - | | + | |
| - | 2)Если ''V<sub>1</sub>=V<sub>2</sub>'' конечномерны над [[Алгебраически замкнутое поле|алгебраически замкнутым]] полем ''K'' и ''σ=τ'', то ''f'' является умножением на некоторый элемент поля ''f:x→λx''.
| + | |
| - | | + | |
| - | == Доказательство ==
| + | |
| - | | + | |
| - | Основой доказательства служит следующее общее утверждение, которое часто тоже называют «леммой Шура»:
| + | |
| - | | + | |
| - | Пусть ''E'' и ''F'' [[Модуль над кольцом|модули]], являющиеся простыми (то есть не имеющие подмодулей, отличных от нулевого и самого себя). Тогда любой [[гомоморфизм]] ''f:E→F'' является либо нулевым, либо [[изоморфизм]]ом на ''F''.
| + | |
| - | | + | |
| - | В самом деле, так как ''Ker f'' и ''Im f'' являются подмодулями, то если f ненулевой гомоморфизм, имеем ''Ker f=0'', а ''Im f=F'', то есть ''f'' — изоморфизм на весь модуль ''F''.
| + | |
| - | | + | |
| - | Теперь определим групповое [[Кольцо (алгебра)|кольцо]] ''K[G]''. Элементами этого кольца будут линейные комбинации ''k<sub>1</sub>g<sub>1</sub>+k<sub>2</sub>g<sub>2</sub>+...k<sub>n</sub>g<sub>n</sub>''. Умножение определяется ''(k<sub>1</sub>g<sub>1</sub>)(k<sub>2</sub>g<sub>2</sub>)=(k<sub>1</sub>k<sub>2</sub>)(g<sub>1</sub>g<sub>2</sub>)'' и далее по линейности. Ясно, что ''K[G]'' кольцо. На пространстве ''V<sub>1</sub>''
| + | |
| - | определим умножение элемента из ''K[G]'' на элемент ''x<span style='font-family:
| + | |
| - | Symbol'>Î</span> V<sub>1</sub>: (k<sub>1</sub>g<sub>1</sub>+k<sub>2</sub>g<sub>2</sub>+...k<sub>n</sub>g<sub>n</sub>)x=k<sub>1</sub>σ<sub>g1</sub>x+k<sub>2</sub>σ<sub>g2</sub>x+...k<sub>n</sub>σ<sub>gn</sub>x''.
| + | |
| - | Тем самым мы превращаем ''V<sub>1</sub>'' в модуль над кольцом ''K[G]''. Проверка аксиом модуля тривиальна, т.к. ''σ'' является представлением. ''V<sub>2</sub>'' аналогично, заменяя ''σ'' на ''τ'', будет модулем над ''K[G]'', а равенство ''τ<sub>g</sub>f=fσ<sub>g</sub>'' то, что отображение ''f'' является гомоморфизмом модулей. Так как ''V<sub>1</sub>'' и ''V<sub>2</sub>'' неприводимы, а это означает их простоту как модулей над ''K[G]'', то первая часть леммы доказана.
| + | |
| - | | + | |
| - | Для доказательства второй части используем известное утверждение линейной алгебры о существовании собственного векторов ''x≠''0 для конечномерного пространства над алгебраически замкнутым полем, соответствующего собственному значениию ''λ, fx=λx''.
| + | |
| - | Имеем для любого элемента '' g<span style='font-family:
| + | |
| - | Symbol'>Î</span> G σ<sub>g</sub>(f-λid)=(f-λid)σ<sub>g</sub>'', причём для собственного вектора ''x≠'' 0 ''f-λ·id''=0. следовательно ''f-λ·id'' по первой части леммы является нулевым гомоморфизмом, а значит, ''f'' является умножением на некоторое λ.
| + | |
| - | | + | |
| - | == Литература ==
| + | |
| - | | + | |
| - | * Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967
| + | |
| - | * Серр Ж.-П. Линейные представления конечных групп -М:, Мир, 1969
| + | |
| - | | + | |
| - | [[Категория:Теоремы]]
| + | |
| - | [[Категория:Теория представлений]]
| + | |
| - | | + | |
| - | [[de:Lemma von Schur]]
| + | |
| - | [[en:Schur's lemma]]
| + | |
| - | [[fr:Lemme de Schur]]
| + | |
| - | [[it:Lemma di Schur]]
| + | |
| - | [[zh:舒尔引理]]
| + | |
| - | [[zh-yue:Schur引理]]
| + | |
| - | | + | |
| - | {{WikiCopyRight}}
| + | |
